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研究基础Ž“——软集合理论

*通信:

Srinivasa Rao TVaddeswaram KL大学托尔(Dt),印度安得拉邦电话:0863239 9999;电子邮件:tsr_2505@kluniversity.in

文摘

Molodtsov发起软集理论,基于软集合理论在本文中,我们定义了Γ——软套,Γ——柔软的子集,平等的两个Γ——软集,Γ——软集合的补充,零Γ——软套,不是Γ-软集和绝对Γ软集的例子。Γ——软二进制操作,比如和,或操作以及工会和交叉Γ——软集。Γ德摩根定律——软集和一些基本结果。在本文中,我们介绍了第二个参数集,Γ表示一个品牌或公司的名称

关键字

Γ-软集;Γ-软接头;不是Γ——软集合;绝对Γ-软集;Γ——软集的补充

介绍

柔软的理论是由Molodtsov [1)作为一个重要的数学工具来解决不确定性的问题。Molodtsov讨论了软集合理论的潜在应用在几个方向。Maji et al。2]研究了软集的详细理论研究像软接头套,没有设置、平等的软集。他们研究了操作软集如联盟,十字路口,或操作。艾哈迈德和阿萨Kharal3]介绍了任意模糊软联盟和十字路口和证明德摩根法律模糊软理论。Babitha KV和苏尼尔JJ4]介绍了符号的软过滤器residuated格及其基本性质。他们研究了软residuated格和软过滤residuated晶格之间的关系。Cagman et al。5]研究Fp-soft集及其操作,t-norm t-co规范产品的Fp -软集和它们的属性。Ibraim我和优素福AO6)给一个关键的调查软集合理论的发展,列举了一些它的各种应用程序在不同的日期。Saakshi Saraf [7)提出了有价值的调查软集合理论和定义一些符号软集。Onyeozili IA, Gwary TM (8)研究的系统性和批判性研究软集合理论的基本知识,其中包括软集的属性关系。在本文中,我们引入了一个新参数,Γ在软结构,显示公司的名称或品牌名称。

预赛

在本节中,我们将讨论一些基本定义和结果Γ-Soft集与相关的例子。

Γ-Soft组:让你是通用集和P (U)是美国的幂集让K和Γ参数的设置属性。三极管(F、L、Γ)被称为Γ——软集通用集,U (F、L、Γ)= {F (a,γ):一个∈L,γ∈Γ}是一个映射由F: L XΓ→P (U)和L是K的子集。

示例1:让你= {U₁,你₂,你₃,你₄,你₅}是一个通用组组成的一组六个电视正在考虑。让K = {e₁e₂e₃}和Γ={γ₁,γ₂}是参数的设置对U, e₁:代表昂贵,e₂:代表便宜和e₃:代表美丽和γ₁:代表brand-1公司,γ₂:代表brand-2公司。

让L = {e₁e₂}k L XΓ= {(e₁,γ₁)、(e₁,γ₂)、(e₂,γ₁)、(e₂,γ₂)}。

假设F (e₁,γ₁)= {u₁,你₂},F (e₁,γ₂)= {u₂,你₃,你₄},F (e₄,γ₁)= {u₂,你₅},F (e₂,γ₂)= {u₃,你₅}。

Γ-软集,(F、L、Γ)是一个参数化的家庭{F (e_我,γ_j),i = 1、2和j = 1, 2}子套U和集给出了集合近似给出如下。

(F、L、Γ)= {(F (e₁,γ₁),{你₁,你₂})(F (e₁,γ₂),{你₂,你₃,你₄})(F (e₂,γ₁),{你₂,你₅})(F (e₂,γ₂),{你₃,你₅}})。

在那里,

F (e₁,γ₁)= 1 = {u公司昂贵的电视品牌₁,你₂}

F (e₁,γ₂2)=品牌公司昂贵的电视= {u₂,你₃,你₄}

F (e₂,γ₁1)=品牌公司便宜的电视机= {u₂,你₅}

F (e₂,γ₂2)=品牌公司便宜的电视机= {u₃,你₅}

Γ——软子组:让(F、L、Γ)和(G、M、Γ)两个Γ——软集通用集,U,我们说(F、L、Γ)是一个Γ——软子组(G、M、Γ),如果

(我)L ?米

(2)对于每一个e∈L,γ∈Γ,F (e,γ),G (e,γ)相同的近似,在L和M子组一组参数K和Γ也是一个参数集。

示例2:让你= {U₁,你₂,你₃,你₄,你₅}是一套通用,K = {e₁e₂e₃e₄}和Γ={γ₁,γ₂}是参数的设置对U。

让(F、L、Γ)和(G、M、Γ)两个Γ——软集通用集,U L和M K的子组。

让L = {e₁e₂},M = {e₁e₂e₄},也给出了近似如下。

F (e₁,γ₁)= {u₁,你₂},F (e₁,γ₂)= {u₂},F (e₂,γ₁)= {u₃,你₄},F (e₂,γ₂)= {u₅},

G (e₁,γ₁)= {u₁,你₂,你₃G (e₁,γ₂)= {u₂,你₅},G (e₂,γ₁)= {u₃,你₄},G (e₄,γ₂)= {u₅,你₁}

G (e₄,γ₁)= {u₁},G (e₁,γ₂)= {u₂}。

从上面的例子中,我们观察到L M和F和G的子组相同近似(表1)。

表1。例2的表格表示。

平等的两个Γ——软集:让(F、L、Γ)和(G、M、Γ)两个Γ——软集在一种普遍通用的设置,你说等于如果(F、L、Γ)子集(G、M、Γ)和(G、M、Γ)子组(F、L、Γ)。

3操作Γ-软集:让(F、L、Γ)和(G、M、Γ)两个Γ——软集在一种普遍通用的设置,U L和M参数集的子组K和Γ是一个参数集。

在两个Γ-Soft集”和“操作:”和“操作两个Γ——软集之间(F、L、Γ)和(G、M、Γ)用(F、L、Γ)?(G、M、Γ),它被定义为(F、L、Γ)?(G、M、Γ)= (N, L (XΓ)X (M XΓ)),其中N (e₁,γ₁)、(e₂,γ₂))= F (e₁,γ₁)∩G (e₂,γ₂),∀(e₁,γ₁)、(e₂,γ₂)∈(L XΓ)X (M XΓ),e₁∈L e₂∈M和γ₁,γ₂∈Γ。

示例3:让你= {U₁,你₂,你₃,你₄}是一个通用组组成的一组四个电视正在考虑,L ={昂贵的电视},M ={电视便宜}和Γ= {Brand-1公司,Brand-2公司}是参数的设置对U。

让近似:

F (brand-1公司成本)= {u₁,你₂}

F (brand-2公司成本)= {u₃,你₄}

G(便宜,brand-1公司)= {u₁,你₂,你₃}

G(便宜,brand-2公司)= {u₂,你₃,你₄}

然后,通过和操作

N(昂贵的电视,brand-1,便宜的电视,brand-2) = {u₂}。

在两套Γ-Soft”或“操作:”或“操作两个Γ——软集之间(F、L、Γ)和(G、M、Γ)用(F、L、Γ)V (G、M、Γ),它被定义为(F、L、Γ)V (G、M、Γ)= (N, L (XΓ)X (M XΓ)),其中N (e₁,γ₁)、(e₂,γ₂))= F (e₁,γ₁)∪G (e₂,γ₂),∀(e₁,γ₁)、(e₂,γ₂)∈(L XΓ)X (M XΓ),e₁∈L e₂∈M和γ₁,γ₂∈Γ(表2)。

表2。例3的表格表示。

示例4:让你= {U₁,你₂,你₃,你₄}是一个通用组组成的一组四个电视正在考虑,L ={昂贵的电视},M ={电视便宜}和Γ= {Brand-1公司,Brand-2公司}是参数的设置对U。

让近似:

F (brand-1公司成本)= {u₁,你₂}

F (brand-2公司成本)= {u₃,你₄}

G(便宜,brand-1公司)= {u₁,你₂,你₃}

G(便宜,brand-2公司)= {u₂,你₃,你₄}

然后,通过或操作

N(昂贵的电视,brand-1,便宜的电视,brand-2) = {u₁,你₂,你₃,你₄}。

结果:让(F、L、Γ)和(G、M、Γ)两个Γ——软集在一种普遍通用的设置,你如果(F、L、Γ)的子集(G、M、Γ),那么它并不意味着每一个元素(F、L、Γ)是一个元素(G、M、Γ)(表3)。

表3。示例4的表格表示。

证明:我们可以验证上述结果通过一个例子。

让你= {U₁,你₂,你₃,你₄,你₅}是一套通用,K = {e₁e₂e₃e₄}和Γ={γ₁,γ₂}是参数的设置对U和L = {e₁},M = {e₁e₂}是K的子组。

我们假设以下近似:

F (e₁,γ₁)= {u₁,你₂},F (e₁,γ₂= {u₃,你₅},G (e₁,γ₁)= {u₁,你₂,你₃},G (e₁,γ₂)= {u₃,你₅},G (e₂,γ₁)= {u₂,你₅},G (e₂,γ₂)= {u₅}。

因此,

F (e₁,γ₁)G (e₁,γ₁)

F (e₁,γ₂)G (e₁,γ₁)

即。对于每个(e_我,γ_j)∈L XΓ暗示F (e_我,γ_j)G (e_我,γ_j)

但是,

(F、L、Γ)= {((e₁,γ₁),{你₁,你₂})(e₁,γ₂),{你₃,你₅})},(G、M、Γ)= {((e₁,γ₁),{你₁,你₂,你₃})(e₁,γ₂),{你₃,你₅}),(G (e₂,γ₁),{你₁,你₅})(G (e₂,γ₂),{你₅})}

从上面很明显

自(F、L、Γ)和(G、M、Γ)不包含相同近似(F、L、Γ)(G、M、Γ)。

Γ——不是组的一组参数:让K = {e_我/ 1_我n}和Γ={γ_j/ 1 j n}是两套参数。Γ-NOT组E XΓ用XΓ(K)和被定义为(K XΓ)= {(E_我,γ_j),1_我j_n},

(e_我,γ_j)= (e_我,γ_j),在ei并不意味着和γ_j并不意味着γ_j。

例5:让参数设置是K ={昂贵,便宜};Γ= {brand-1, brand-2}

然后,K ={不是昂贵的,便宜的};Γ={不是brand-1,不是brand-2}。

下面的介词是显而易见的

介词:

((K XΓ))= XΓK

((L XΓ)∪(M XΓ))= (L XΓ)∪(M XΓ)

((L XΓ)∩(M XΓ))= (L XΓ)∩(M XΓ)

K和Γ集参数的一种普遍通用的集U和L, M, K。

Γ——软集的补充:Γ——软集的补充(F、L、Γ)通用集,你用(F、L、Γ)c和被定义为(F、L、Γ)c = Fc, L,Γ),

Fc: (L XΓ)P (U),是一个映射的Fc (e,γ)= U - F ((e,γ)),∀e∈L,γ∈Γ。

例6:让你= {U₁,你₂,你₃,你₄}是一个通用组组成的一组4 a C的考虑和L = {e₁=美丽}和Γ={γ₁1 =品牌公司,γ₂=品牌2公司}相对应的参数设置。

F (F、L、Γ)= {(e₁,γ₁)=品牌1美丽a . C。= {u₁,你₂},F (e₁,γ₂)=品牌2美丽的a . C。}= {u₄}。

Γ——软集的补充(F、L、Γ)是由

(F、L、Γ)c = {F (e₁,γ₁)= 1品牌公司和不美丽的a . C。= {u₃,你₄},F (e₁,γ₂)= 2品牌公司和不美丽的a . C。= {u₁,你₂,你₃}。

零Γ-软集:一套Γ——软(F、L、Γ)一套通用的,你是一个空Γ——软如果F (e,γ)=,∀e∈L,γ∈Γ,哪里空集。

例7:让你= {U₁,你₂,你₃,你₄}是一个通用组组成的一组四个电视正在考虑,L = {e₁e₂}和Γ={γ₁,γ₂}是参数的设置对U, e₁:代表的显像管,e₂:代表“扬声器”,γ₁:代表“品牌1公司”,γ₂:代表“品牌2公司”。

(F、L、Γ)描述了组装电视机和Γ-软组(F、L、Γ)定义如下

F (e₁,γ₁)= Brand-1公司显像管电视机组装。

F (e₁,γ₂)= Brand-2公司显像管电视机组装。

F (e₂,γ₁)= Brand-1公司扬声器组装电视机。

F (e₂,γ₂)= Brand-2公司扬声器组装电视机。

F (F、L、Γ)= {(e₁,γ₁)= F (e₁,γ₂)= F (e₂,γ₁)= F (e₂,γ₂)=}。

因此(F、L、Γ)= NullΓ——软集。

介词:让(F、L、Γ)和(G、M、Γ)两个Γ——软集在一种普遍通用的设置,你,

((F、L、Γ)?(G、MΓ)c = c (F、L、Γ)?(G、MΓ)c

((F、L、Γ)V (G、M、Γ))= (F、L、Γ)c V (G、M、Γ)c

证明:我们必须证明((F、L、Γ)?(G、MΓ)c = c (F、L、Γ)?(G、MΓ)c

根据定义,(F、L、Γ)?(G、M、Γ)= (N, L (XΓ)X (M XΓ))

((F、L、Γ)?(G、MΓ)c = (N, L (XΓ)X (M XΓ))c = (Nc) (L XΓ)X (M XΓ))

,数控:((L XΓ)X (M XΓ))P (U),映射是由数控((,γ)(b,γ))= U - N((,γ)(b,γ)),∈L b∈M和γ∈Γ。

现在,(F、L、Γ)c ?(G、M、Γ)c = (Nc (L XΓ))∩(Nc) (M XΓ))= (J (L XΓ)X (M XΓ))

J((γ)(b,γ))= Fc (a,γ)?Gc (b,γ)

现在考虑(γ)(b,γ)∈(L XΓ)X (M XΓ)

γ= U - F (a)∩- G (b,γ)

γ= Fc (())∩Gc ((b,γ))

= J((γ)(b,γ))。

因此((F、L、Γ)?(G、MΓ)c = c (F、L、Γ)?(G、MΓ)c。

我们必须证明,((F、L、Γ)V (G、M、Γ))= (F、L、Γ)c V (G、M、Γ)c

根据定义,(F、L、Γ)?(G、M、Γ)= (N, L (XΓ)X (M XΓ))

现在,(F、L、Γ)c V (G、M、Γ)c = (Nc) (L XΓ))∪(Nc (M XΓ))

= (H, ((L XΓ)X (M XΓ)))

H((γ)(b,γ))= Fc (a,γ)∪Gc (b,γ)

让((γ)(b,γ))∈((L XΓ)X (M XΓ))

考虑Hc((γ)(b,γ))= U - H((,γ)(b,γ))

γ= U - (F (a)∩G (b,γ))

γ= (U - F (a))∪(U - G (b,γ))。

γ= Fc (())∪Gc ((b,γ))

= H(((γ)(b,γ)))

数控和H代表相同的。

因此,定理证明。

绝对Γ-软集:一套Γ——软(F、L、Γ)通用集,你绝对Γ——用软集和它被定义为如果∀(e,γ)∈F (e,γ)= U。

显然()c = c = = U。

例8:让你= {U₁,你₂,你₃,你₄}是一个通用组组成的一组四个电视正在考虑,L = {e₁e₂}和Γ={γ₁,γ₂}是参数的设置对U, e₁:代表的显像管,e₂:代表“扬声器”,γ₁:代表“品牌1公司”,γ₂:代表“品牌2公司”。

Γ-软集(F、L、Γ)描述了“组装电视机”。

Γ-软集合的定义如下:

L (e₁,γ₁)=不是品牌- 1、显像管电视的组装。

L (e₁,γ₂)=不是品牌- 2,显像管电视的组装。

L (e₂,γ₁)=不是品牌- 1,扬声器组装电视的。

L (e₂,γ₂)=不是品牌- 2,扬声器组装电视的。

Γ-软集(F、L、Γ)是集的近似如下:

(F、LΓ)= {(L (e₁,γ₁),{你₁,你₂,你₃,你₄})(L (e₁,γ₂),{你₁,你₂,你₃,你₄})(L (e₂,γ₁),{你₁,你₂,你₃,你₄})(L (e₂,γ₂),{你₁,你₂,你₃,你₄}})。

因此(F、L、Γ)= U。

Γ-soft设置操作:

联盟两套Γ-soft:让(F、L、Γ)和(G、M、Γ)两个Γ——软集在一种普遍通用的设置,你的联盟这两个Γ——软集用(F、L、Γ)∪(G、M、Γ)和定义

(F、L、Γ)∪(G、M、Γ)= (N, L (XΓ)∪(M XΓ))

,N (e,γ)= {F (e,γ)如果(e,γ)∈(L XΓ)——(M XΓ),

= {G (e,γ)如果(e,γ)∈(M XΓ)- (L XΓ),

= {F (e,γ)∪G (e,γ)如果(e,γ)∈(L XΓ)∩(M XΓ)

例9:让你= {U₁,你₂,你₃,你₄,你₅u6}是一套通用,L = {e₁e₂},G = {e₁e₂e₃}和Γ={γ₁,γ₂}是参数的设置对美国的近似给出F (F、L、Γ)= {(e₁,γ₁),F (e₁,γ₂),F (e₂,γ₁),F (e₂,γ₂)}(G、M、Γ)= {G (e₁,γ₁),G (e₁,γ₂),G (e₂,γ₁),G (e₂,γ₂),G (e₃,γ₁),G (e₃,γ₂)}。

假设:

F (e₁,γ₁)= {u₁,你₂},F (e₁,γ₂)= {u₁,你₂,你₃},F (e₂,γ₁)= {u₃,你₄,你₅},F (e₂,γ₂)= {u6}

G (e₁,γ₁)= {u₃},G (e₁,γ₂)= {u₄,你₅},G (e₂,γ₁)= {u6}, G (e₂,γ₂)= {u₅u6}, G (e₃,γ₁)= {u₂,你₄},G (e₃,γ₂)= {u₄,你₅}。

(F、L、Γ)∪(G、M、Γ)= {(G (e₃,γ₁),{你₂,你₄}),(G (e₃,γ₂),{你₄,你₅}})。

十字路口的两套Γ——软:让(F、L、Γ)和(G、M、Γ)是两个Γ-软集/一种普遍通用的集,U的联盟这两个Γ-软集用(F、L、Γ)∩(G、M、Γ)和定义

(F、L、Γ)∩(G、M、Γ)= (N, L (XΓ)∩(M XΓ)),其中N (e,γ)= F (e,γ)或G (e,γ)每(e,γ)∈(L XΓ)∩(M XΓ)。

例10:让你= {U₁,你₂,你₃,你₄}是一套通用,L = {e₁e₂e₃},G = {e₁e₂}和Γ={γ₁,γ₂}是参数的设置对美国给出了近似

(G, L,Γ)= {G (e₁,γ₁),G (e₁,γ₂)}(F, M,Γ)= {F (e₁,γ₁),F (e₁,γ₂),F (e₂,γ₁),F (e₂,γ₂),F (e₃,γ₁),F (e₃,γ₂),G (e₁,γ₁),G (e₁,γ₂)}。

在那里,F (e₁,γ₁)= {u₁},F (e₁,γ₂)= {u₁,你₂},F (e₂,γ₂)= {u₂},F (e₃,γ₁)= {u₃,你₄},F (e₃,γ₂)= {u₄},G (e₁,γ₁)= {u₁},G (e₁,γ₂)= {u₁,你₂}。

(F、L、Γ)∩(G、M、Γ)= {F (e₁,γ₁),F (e₁,γ₂)}或{G (e₁,γ₁),G (e₁,γ₂)}。

即。N (e₁,γ₁)= {u₁},N (e₁,γ₂)= {u₁,你₂}。

对于一些操作的属性Γ-软集:在这篇文章中,我们将对Γ状态没有证据的基本属性,建立了软集合操作,这些操作被许多作者。

(我)幂等属性:

(一)(F、L、Γ)∪(F、L、Γ)= (F、L、Γ)

(b) (F、L、Γ)∩(F、L、Γ)= (F、L、Γ)

(2)身份属性:

(一)(F、L、Γ)∪φ= (F、L、Γ)

(b) (F、L、Γ)∩U = (F、L、Γ)

(c) (F、L、Γ)-φ= (F、L、Γ)

(d) (F、L、Γ)——(F、L、Γ)=φ。

(3)统治属性:

(一)(F、L、Γ)∪U = U

(b) (F、L、Γ)∩φ= (F、L、Γ)

(iv)互补性质:

(一)φc = U

(b)加州大学=φ

(v)交换财产:

(一)(F、L、Γ)∪(G、M、Γ)= (G、M、Γ)∪(F、L、Γ)

(b) (F、L、Γ)∩(G、M、Γ)= (G、M、Γ)∩(F、L、Γ)

结论

在本文中,我们研究了基本面Γ-软集如Γ柔软的子集,平等的两个Γ——软集,Γ——软集合的补充,零Γ——软套,不是Γ-软集和绝对Γ软集的例子。Γ——软二进制操作,比如和,或操作以及工会和交叉Γ——软集。Γ德摩根定律——软集。我们可以扩展这项工作等相关的概念模糊Γ——软集,Γ——软半组。

引用

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3. Ahmad B, a Kharal模糊软集的研究文章。模糊系统的进步。2009;1 - 6。
4. Babitha KV,苏尼尔JJ。软集和函数的关系。数学:第一版。2010;60:1840-9。
5. Cagman N,熟食g . FP-soft集和他们的应用程序的产品。Hacet J数学统计,2012;41:365 - 74。
6. 易卜拉欣,优素福AO。软集合理论的发展。施是Int J > 2012; 2。
7. Saraf美国调查或审核软集合理论和发展。SIJ反式Comp Sci Eng应用。2013;1:59 - 66。
8. Onyeozili IA Gwary TM。软集合理论的基本原理的研究。Int J Sci科技杂志2012;3:132-43。