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，卷:6(2)

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单轨道的逆问题

*通信:

Bozis G希腊塞萨洛尼基大学物理系电话:+30 2 310 998 111;电子邮件: (电子邮件保护)

简介

在势场中产生的轨道F(x,y)= c的单参数族的动力学逆问题，在过去已被研究了各种版本(例如，对于一个、两个或三个参数族，对于笛卡尔坐标或曲线坐标中的二维或三维势，在惯性系或旋转系中等)[1]。

在本报告中，我们指的是单位质量物质点P在惯性系Oxy中的平面运动，在二维势V= V(x,y)中，跟踪由方程y= f(x)给出的一个轨道(或整个轨道的一个分支)。我们回答两个问题:(a):两个函数V=V(x,y)和y=f(x)是任意给定的。它们是否一致?(b):任意给出方程y= f(x)。对于哪些势，这个方程可以代表一个轨道?

符号

我们用V表示_f= V_f(x) = V(x,y=f(x))(有理由称之为轨道势)。同样如。而且．对于任意函数A(x,y)我们有:一个_f= (x, y = f (x))。我们认为A(x,y)是适当的，如果它的轨道值不是无穷大，即如果．总能源点P的E_f．

两个Theorems-Examples

定理一个

当且仅当给定势V= V(x,y)可以产生一个观测到的轨道y= f(x)的分支(f " (x)≠0)

(1）

作为证明的提示，我们参考了Szebehely的单参数族公式(由Bozis(1995)修改)，并对斜率函数进行了适当的解释γ(x, y)的家庭还有两个轨道函数的帮助V_f(x)和轨道函数，在此介绍。

例子:我们来验证一下牛顿椭圆的上分支也就是说,与和牛顿势是兼容的。的确，用…等等，式(1)的左边有，不出所料。

B定理

所有势V(x,y)，在充分的初始条件下，符合E_f)可以产生轨道y= f(x)的观测分支，由公式给出:

（2）

在哪里．函数A(x,y)是an足够的任意函数和(不定积分L(x)的常数取为零)E_f是能源的P。

为了证明定理B，我们只需要验证轨道y= f(x)和势(2)确实是一致的，即它们满足方程(1)。

例子:为我们有．因此，公式(2)给出了可以产生轨道的无限个势中的一个Y = x^3.与E_f= 1。为(这样)这个势是

评论

i.函数y=f(x)是实数，如果E_f≥V_f定义在x轴上的一个区间，这个区间可以从不等式中找到L (x)≤0。

2如果观测到的(给定)轨道是一条直线f (x) =λx+μ(此时f ' ' (x)=0)，则上述式(1)、(2)不适用。那么，如果给出了问题1(a)的肯定答案Vyf=λVxf．对于问题(1b)的公式(给出产生直线f (x) =的势的总和λx+μ)现在改为:

（3）

a(x +λy)，b(x, y)是它们各自参数的任意函数。

结果表明，所有势(3)均满足上述关系Vyf=λVxf．

参考文献

1. 动力学的逆问题:基本事实。逆问题。1995; 11:687 - 708。